수학자 블레즈 파스칼이 알려주는 확률론이란?

프랑스의 수학자이자 과학자 블레즈 파스칼의 확률론에 대해 알아봅시다.

 

 

 

 

모든 조건을 만족하는 가능한 방법의 수는 몇 가지일까요?

모든 경우의 수를 헤아리는 방법에 대해 알아보겠습니다. 모든 경우의 수를 헤아릴 때 조심해야 할 점은 어떤 경우도 빼먹지 말아야 하고 또한 어떤 경우를 두 번 헤아리지 않아야 한다는 것입니다.

 

곰인형 2개와 사람인형 3개, 이 인형들 가운데 한 개의 인형을 가지는 방법은 모두 몇 가지인지 알아봅시다. 가질 수 있는 인형은 곰인형 또는 사람인형입니다. 곰인형에는 두 종류가 있으므로 곰인형 하나를 가지는 방법은 2가지입니다. 또한 사람인형은 세 종류이므로 사람인형을 가지는 방법은 3가지입니다. 

이제 곰인형 또는 사람인형을 가지는 방법은 2가지입니다. 또한 사람인형은 세 종류이므로 사람인형을 가지는 방법은 3가지입니다. 이제 곰인형 또는 사람인형을 가지는 방법은 모두 몇 가지일까요? 그것은 곰인형을 가지는 방법의 수와 사람인형을 가지는 방법의 수의 합입니다. 그러므로 2+3=5입니다.

결국 곰인형이든 사람이든 구별할 필요가 없었습니다. 즉 인형은 5종류이니까 이중에서 하나의 인형을 가지는 방법은 5가지였습니다.

 

인형 하나를 가지는 방법의 수 = 곰인형 갖는 방법의 수 + 사람인형 갖는 방법의 수

 

이렇게 각 경우의 가짓수를 더하여 전체 경우의 수를 구하는 것을 합의 법칙이라고 합니다. 이렇게 두 경우가 '또는'으로 연결되어 있을 때는 합의 법칙이 적용됩니다.

 

 

길 찾기 문제

길 찾기 문제에 대해 알아보겠습니다.

3개의 기둥이 있을 때 첫 번째 기둥과 두 번째 기둥은 2개의 길로, 두 번째 기둥과 세 번째 기둥 사이에는 3개의 길로 연결되어 있을 때, 여자 3명과 남자 3명이 모든 가능한 길을 따라갔을 때, 첫 번째 기둥을 출발해 두 번째 기둥을 거쳐 세 번째 기둥으로 가는 방법이 모두 몇 가지인지 알아보겠습니다. 

알아보니 가능한 길은 모두 6가지입니다. 그럼 6은 어떻게 나왔을까요? 첫 번째 기둥을 떠나 두 번째 기둥을 거쳐 세 번째 기둥에 가는 서로 다른 길은 모두 몇 가지인지 알아보겠습니다.

 

첫 번째 기둥에서 두 번째 기둥까지 가는 방법은 2가지입니다. 두 번째 기둥에서 세 번째 기둥까지 가는 방법은 3가지입니다.

그러니 6 = 2 X 3입니다. 

(첫 번째 기우에서 두 번째 기둥으로 간다. 그리고 두 번째 기둥에서 세 번째 기둥으로 간다. 이때 가능한 방법) = (첫 번째 기둥에서 두 번째 기둥으로 가는 방법) X (두 번째 기둥에서 세 번째 기둥으로 가는 방법)

 

이렇게 두 경우가 '그리고'로 연결되어 있을 때 각 경우의 수의 곱이 전체 경우의 수가 됩니다. 이것을 경우의 수에 대한 곱의 법칙이라고 합니다.

 

 

확률이 뭘까요?

동전으로 확률을 알아보도록 해보겠습니다. 동전을 던지면 앞면이 나오거나 뒷면이 나옵니다. 그 외의 경우는 일어나지 않습니다. 만약 동전의 앞면이 나오기를 원해도 던질 때마다 동전의 앞면이 나올 수는 없습니다. 던진 동전의 어느면이 나올지는 아무도 모르는 일이기 때문입니다. 하지만 분명한 것은 2가지 경우 중 1가지가 일어난다는 것입니다.

 

1) 동전의 앞면이 나온다.

2) 동전의 뒷면이 나온다.

 

이렇게 일어나는 각 경우들이 공평할 때 우리는 확률을 정의할 수 있습니다. 확률은 다음과 같이 정의됩니다.

 

확률 = 원하는 경우의 수/ 전체 경우의 수

 

이제 동전을 던질 때 앞면이 나올 확률을 구해 봅시다. 일어나는 경우는 앞면 또는 뒷면으로 전체 경우의 수는 2가지입니다. 우리가 원하는 경우는 앞면이 나오는 경우이므로 원하는 경우의 수는 1가지 입니다. 그러므로 앞면이 나올 확률은 1/2이 됩니다. 그럼 뒷면이 나올 확률은 얼마일까요? -1/2입니다. 

동전을 던질 때 일어나는 경우는 앞면과 뒷면 2가지인데 각 경우의 확률을 모두 더하면 1이 됩니다. 

1/2 + 1/2 = 1 이것은 확률의 중요한 성질입니다.

 

여러가지 경우가 일어날 때 각 경우의 확률들의 합은 항상 1입니다. 

 

주사위를 던졌을 때 일어나는 각 경우를 나열해 보면 모두 6가지 경우가 나옵니다. 그러므로 전체 경우의 수는 6입니다. 그럼 1의 눈이 나올 확률은 얼마일까요? 1의 눈이 나오는 경우는 한 가지이니까 확률은 1/6입니다. 다른 눈이 나올 확률도 마찬가지로 1/6이 됩니다. 그러므로 주사위를 던졌을 때 나오는 각 경우의 확률의 합은 1이 됩니다.

 

1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1

 

 

기댓값이란 무엇일까요?

기댓값에 대해 알아보겠습니다. 동전으로 두 번 던지는 경우를 생각해 본다면 전체 4가지 중에서 앞면이 1개 나타나는 경우가 2가지입니다. 그러므로 앞면의 개수에 대한 확률은 다음과 같습니다.

 

앞면이 0개일 확률 = 1/4

앞면이 1개일 확률 = 2/4

앞면이 2개일 확률 = 1/4

 

여기서 앞면이 0개인 경우는 첫 번째 동전이 뒷면이고 두 번째 동전도 뒷면일 확률입니다. 하나의 동전을 던져 뒷면이 나올 확률이 1/2이므로 곱셈법칙에 의해 앞면이 0개일 확률은 1/2 X 1/2이 됩니다. 같은 요령으로 앞면이 2개일 확률은 첫 번째 동전의 앞면이 나올 확률과 두 번째 동전의 앞면이 나올 확률의 곱이므로 1/2 X 1/2이 됩니다. 그럼 앞면이 1개일 확률은 왜 2/4가 될까요? 앞면이 1개인 경우는 다음과 같기 때문입니다.

 

1) 첫 번째 동전 앞면 그리고 두 번째 동전 뒷면

2) 첫 번째 동전 뒷면 그리고 두 번째 동전 앞면

 

1)과 2)가 각각 일어날 확률은 1/2 X 1/2 = 1/4이 됩니다. 그러므로 1)또는 2)가 일어날 확률은 덧셈법칙에 의해 1/4 + 1/4 = 1/2가 되는 것입니다. 

 

이렇게 확률과 기댓값에 대해 알아보았습니다.