갈릴레이가 발견한 그네의 왕복운동, 가속도에 대해서

이탈리아의 천문학자이자 물리학자 갈릴레오 갈릴레이, 그네의 왕복운동과 가속도에 대해 정리한 내용을 알아보겠습니다.

 

 

 

 

그네의 왕복운동

그네의 운동에 대해 이야기하기 위해 세 그네를 실험해 보겠습니다.

세 그네의 줄의 길이는 각각 1m, 4m, 9m입니다. 우선 같은 그네에 몸무게가 다른 세 명의 어린이를 차례로 태워 보는 것으로 가정하겠습니다. A, B, C 어린이의 질량은 각각 30kg, 40kg, 50kg입니다. 이 세 어린이를 차례로 그네에 태워 그네가 다시 제자리로 올 때까지 걸린 시간을 재어 보겠습니다.

 

모두 같은 높이까지 그네를 당긴 후 손을 놓았을 때 제자리로 돌아오는 데 걸리는 시간을 재보겠습니다. 먼저 A 어린이는 제자리로 돌아오는 데 걸린 시간은 2초입니다. B 어린이는 2초입니다. C 어린이도 2초입니다. 같은 그네에 질량이 다른 세 사람을 태워 보았습니다. 그런데 그네가 제자리로 돌아오는 데 걸리는 시간은 똑같았습니다. 이 시간을 그네의 주기라고 합니다. 그러니까 다음과 같이 말할 수 있습니다.

 

그네의 주기는 그네에 탄 사람의 질량과 관계없다.

 

그네의 줄의 길이가 다를 때는 어떻게 될까요? 줄의 길이가 4m인 그네에 A 어린이가 타고 일정한 높이까지 그네를 잡아당겼다가 놓았을 때 제자리로 돌아오는 데 걸리는 시간은 4초입니다. 그렇다면 9m인 그네에서 동일한 조건으로 걸리는 시간은 6초입니다.

그러니까 줄의 길이가 길어질수록 그네의 주기가 길어진다는 것을 알 수 있었습니다. 이것을 정리하면 다음과 같습니다.

 

줄의 길이 = 1m   주기 = 2초

줄의 길이 = 4m  주기 = 4초

줄의 길이 = 9m  주기 = 6초

 

어떤 규칙이 있는지 알아보기 위해 위 결과를 다음과 같이 정리해 보겠습니다.

 

줄의 길이 = 1(2제곱)m   주기 = 2×1초

줄의 길이 = 4(2제곱)m  주기 = 2×2초

줄의 길이 = 9(2제곱)m  주기 = 2×3초

 

줄의 길이의 비가 1(2제곱) : 2(2제곱) : 3(2제곱) 일 때 주기의 비는 1 : 2 : 3 이 된다는 것을 알 수 있습니다. 이것이 바로 그네의 주기와 그넷줄의 길이와의 관계입니다.

 

 

그네의 속력

그네를 타 보면 그네의 높이가 가장 낮을 때 가장 빠르다는 것을 알 수 있습니다. 그것을 간단하게 증명해 보겠습니다. 그네가 가장 높은 곳에서 가장 낮은 곳으로 내려올 때까지 움직임을 그려 보면 그넷줄의 길이가 일정하므로 곡선은 반지름이 줄의 길이인 원의 일부분일 것입니다. 이제 그네가 시작하는 가장 아래 있을 때부터 어느 지점까지 올라갔을 때를 네 등분으로 나누어서 점을 찍어 속도를 비교하면 그네의 속도가 어떻게 변하는지 알 수 있습니다. 

 

그네가 가장에 위에 있을 때부터 가장 아래로 내려왔을 때를 A, B, C, D로 나타 냈을 때, 우선 A와 B지점을 보겠습니다.

A에서 B로 내려갈 때 곡선을 따라 내려가지만 A와 B를 잇는 직선을 따라 내려간다고 가정할 때, 이때 A와 B를 잇는 직선은 경사면이므로 B지점이 A지점보다 속력이 크게 됩니다. 다음으로 그네가 B지점에서 C지점으로 내려올 때도 두 지점을 잇는 경사면을 따라 내려온다고 생각하면 C지점에서 속력이 B지점에서의 속력보다 커집니다. 같은 방법으로 그네가 D지점에 있을 때가 C지점에 있을 때보다 속력이 더 커질 것입니다.

 

그러므로 그네는 내려오면서 점점 속력이 커진다는 것을 알 수 있습니다. 물론 이 과정에서 곡선을 직선 경사면으로 가정했습니다. 이 가정은 곡선을 무수히 많은 점으로 나눈다면 더 잘 받아들여질 수 있습니다. 그때는 두 점 사이의 간격이 아주 짧아져 곡선이 더 직선처럼 여겨질 수 있기 때문입니다.

 

 

가속도란 무엇일까요?

물체의 속도가 변하는 경우 일정 시간 동안 얼마나 속도가 변하는가를 나타내는 양을 가속도라고 합니다.

자동차와 트럭이 정지해 있다가 같은 방향으로 움직여서 자동차는 2초 후에 속도가 20㎧로 되었고 트럭은 5초 후 25㎧가 되었다고 할 때, 두 경우 속도의 변화를 구해 보겠습니다.

 

속도의 변화는 나중 속도에서 처음 속도를 뺀 값입니다. 두 차의 경우 처음에는 정지해 있었으니까 처음 속도는 0입니다. 그러므로 다음과 같습니다.

 

자동차의 속도의 변화 = 20 - 0 = 20㎧

트럭의 속도의 변화 = 25 - = 25㎧

 

물론 트럭의 속도의 변화가 더 큽니다. 하지만 트럭은 속도가 변하는 데 더 긴 시간이 필요했습니다. 공평하게 비교하기 위해 같은 시간 동안 속도의 변화를 비교하는 물리량이 필요합니다. 그것이 바로 가속도입니다.

 

자동차에 대해 1초 동안의 속도의 변화를 □라고 하면 다음과 같이 비례식을 세울 수 있습니다.

 

2초 : 20㎧ = 1초 : □㎧

 

따라서 자동차는 1초 동안 속도가 10㎧ 변합니다. 

트럭에 대해 1초 동안의 속도의 변화를 □라고 하면 다음과 같이 비례식을 세울 수 있습니다.

 

5초 : 25㎧ = 1초 : □㎧

 

따라서 트럭은 1초 동안 속도가 5㎧ 변합니다.

그러므로 같은 시간 동안 자동차의 속도 변화가 더 큽니다. 이렇게 같은 시간 동안 물체의 속도가 얼마나 많이 변했는가를 나타내는 양이 바로 가속도입니다. 즉 가속도는 다음과 같이 정의됩니다.

 

가속도 = 속도의 변화/시간

 

그러므로 가속도의 단위는 속도의 단위 ㎧를 시간의 단위로 s로 나눈 ㎨이 됩니다. 두 차의 가속도를 계산하면 다음과 같습니다.

 

자동차의 가속도 = 20/2 = 10㎨

트럭의 가속도 = 25/5 = 5㎨

 

그러므로 같은 시간 동안 속도 변화가 더 큰 자동차의 가속도가 더 큽니다. 

 

속도의 방향은 물체가 움직이는 방향입니다. 그렇다면 가속도의 방향도 물체가 움직이는 방향일까요? 확인해 보겠습니다.

정지해 있다가 3초 후 12㎧의 속도가 되는 버스의 가속도를 구해 봅시다. 버스는 오른쪽으로 움직인다고 합시다. 그러므로 속도의 방향은 오른쪽입니다. 이때 가속도는 (12-0)/3 = 4㎨이 됩니다.

 

이번에는 12㎧의 속도로 달리던 버스가 3초 후에 멈추는 경우를 봅시다. 역시 버스는 오른쪽으로 움직인다고 하겠습니다. 

이 때 가속도는 (12-0)/3 = -4㎨입니다. 가속도가 음수가 되었습니다. 오른쪽 방향을 양의 방향으로 택하였으므로 이때 가속도의 방향은 왼쪽 방향입니다. 그러므로 다음과 같이 결론을 낼 수 있습니다.

 

물체의 속다가 증가하면 가속도의 방향은 물체가 움직이는 방향이다.

물체의 속도가 감소하면 가속도의 방향은 물체가 움직이는 방향과 반대이다.

 

여기서 물체의 움직이는 방향이 항상 가속도의 방향이 아니라는 점은 아주 중요합니다. 속도가 변하지 않을 때는 가속도가 어떻게 될까요? 예를 들어 12㎧의 속도로 달리던 버스가 3초 후에도 여전히 12㎧의 속도로 달리며 오른쪽으로 움직인다고 가정했을 때, 나중 속도는 12㎧이고, 처음 속도는 12㎧입니다. 처음 속도와 나중 속도가 같으므로 속도의 변화는 없습니다. 그러므로 버스의 속도의 변화는 0입니다.

그렇다면 속도의 변화를 시간으로 나눈 것이 가속도이므로 가속도 역시 0입니다. 그러므로 다음과 같이 결론을 낼 수 있습니다.

 

속도가 변하지 않으면 가속도는 0이다.