중학교 수학 도형의 합동, 기하학에 대해서

중학교 수학에서 많이 나오는 도형. 기원전 그리스 시대의 기하학자 유클리드는 발견한 삼각형의 합동, 기하학에 대해서 알아보겠습니다.

 

 

 

 

삼각형의 합동이란?

강에는 사람이 살지 않는 미니 섬이라는 조그만 섬이 있습니다. 미니 섬은 강 한복판에 있는데 섬까지의 거리는 알 수 없었습니다. 

미니 섬까지 가지 않고 자와 각도기만으로 섬까지의 거리를 구할 수 있을까요? 이럴 때 '도형의 합동의 성질'을 이용한답니다.

 

합동이란 무엇일까요?

두 도형이 있는데 서로 대응하는 변의 길이가 같고 대응하는 각의 크기가 같으면 두 도형은 합동이라고 합니다. 

삼각형 ABC와 삼각형 DEF가 있다고 할 때 두 삼각형은 합동입니다. 대응하는 조건은 아래와 같습니다.

 

변 AB와 변 DE

변 AC와 변 DF

변 BC와 변 EF

각 A와 각 D

각 B와 각 E

각 C와 각 F

 

이때 두 삼각형은 세 변의 길이가 같고 세 각의 크기가 같습니다. 이럴 때 두 삼각형은 '합동'이라고 합니다. 이 두 삼각형은 완전히 포개어지고, 이것이 바로 합동인 두 도형의 특징입니다.

그렇다면 두 삼각형이 합동이 되려면 어떻게 되어야 할까요? 다음과 같은 세 경우 중 한 조건을 만족해야 두 삼각형이 합동이 됩니다.

 

1) 대응하는 세 변의 길이가 같다. (SSS 합동조건)

2) 대응하는 두 변의 길이가 같고 그 사잇각의 크기가 같다. (SAS 합동조건)

3) 대응하는 한 변의 길이가 같고 양 끝각의 크기가 같다. (ASA 합동조건)

 

영어로 쓴 것은 합동조건의 이름입니다. S는 변을 뜻하는 segment라는 단어의 앞 철자이고 A는 각을 뜻하는 angle이라는 단어의 앞 철자입니다. 

 

삼각형 PAB와 삼각형 PDC는 변 AP의 대응변은 변 PD이고, 변 BP의 대응변은 변 PC입니다. 그럼 삼각형 PAB와 PDC는 합동일까요? 언뜻 보면 대응하는 두 변의 길이만 같으니까 합동은 아닌 것 같지만 맞꼭지각이 같다는 성질로부터 ∠APB와 ∠DPC가 같으므로 두 삼각형은 SAS 합동조건에 의해 합동이 됩니다.

 

이제 다시 미니 섬까지의 거리를 구하는 문제로 돌아가겠습니다. 우리는 미니 섬에 육지에서 가장 가까운 곳에 P라고 쓰여 있는 깃발을 꽂아두었습니다. 그러니까 강가에서 P점까지의 수직 거리를 구하면 됩니다.

 

섬과 육지가 마주 보는 지점 A에서 강변을 따라 왼쪽으로 30m 지점에 깃발 B 꽂고, B에서 다시 왼쪽으로 30m를 더 간 지점에 깃발 C를 꽂았다고 하겠습니다. 섬과 깃발 B를 잇는 선을 육지 쪽으로 연장한 선을 그리고 깃발 C지점에서 강물이 흐르는 방향과 수직으로 육지 쪽으로 선을 그린다면 육지 쪽의 어느 한 점에서 만나고 그곳에 깃발 D 꽂는다면..

 

이제 깃발들을 각 꼭지점으로 하는 두 삼각형은 합동이 됩니다. ∠PBA와 ∠CBD는 맞꼭지각으로 같고 ∠A와 ∠C는 직각으로 같고 변 AB의 길이와 변 BC의 길이가 같으므로 ASA 합동조건에 의해 삼각형 PBA와 삼각형 DBC는 합동입니다. 그러므로 두 삼각형에서 대응각과 대응변의 길이는 같습니다. 따라서 CD의 길이와 PA의 길이는 같습니다. 

 

우리가 구하려고 하는 섬까지의 거리는 PA! 그런데 물이 있어 줄자로 잴 수 없으니, 육지 쪽의 같은 길이인 CD를 측정하면 됩니다.

이렇게 강물이 있어 직접 잴 수 없을 때 삼각형의 합동을 이용하면 쉽게 섬까지의 거리를 구할 수 있습니다.